两周前有同学在qq群中讨论PLL的参数设计，之前没自己动手计算过，一直用的将PLL传递函数，忽略零点项，当做标准的二阶系统近似处理，类似ζ=0.707,wn=wc的近似吧。我搜过一些文章也都是这样写的，其实它的频率响应表现还是不太一样的。
电机控制qq群：528884293

传递函数和频率响应：

PLL框图：

$$G(s)=\frac{K_{p}s+K_i}{s^2}$$

$$G(s{)}_{close}=\frac{\frac{K_{p}s+K_i}{s^2}}{1+\frac{K_{p}s+K_i}{s^2}}$$

$$G(s{)}_{close}=\frac{K_{p}s+K_i}{s^2+K_{p}s+K_i}$$

其中：
$$K_p=2\zeta {\omega }_n$$
$$K_i={\omega }_n^2$$

得到
$$G(s{)}_{CL}=\frac{2\zeta {\omega }_{n}s+{\omega }_n^2}{s^2+2\zeta {\omega }_{n}s+{\omega }_n^2}$$

设
$$\frac{\omega }{{\omega }_n}=\Omega$$

$$G(s{)}_{CL}=\frac{2\zeta \frac{\omega }{{\omega }_n}j+1}{-\frac{{\omega }^2}{{\omega }_n^2}+2\zeta \frac{\omega }{{\omega }_n}j+1}$$

$$=\frac{2\zeta \Omega j+1}{-{\Omega }^2+2\zeta \Omega j+1}$$

$$=\frac{(1-{\Omega }^2-2\zeta \Omega j)(2\zeta \Omega j+1)}{(1-{\Omega }^2+2\zeta \Omega j)(1-{\Omega }^2-2\zeta \Omega j)}$$

$$=\frac{1-{\Omega }^2+4{\zeta }^2{\Omega }^2}{(1-{\Omega }^2{)}^2+4{\zeta }^2{\Omega }^2}-\frac{2\zeta {\Omega }^3}{(1-{\Omega }^2{)}^2+4{\zeta }^2{\Omega }^2}j$$

振幅响应：
$$|G(j\omega )|=(Real(G_{(j\omega )}{)}^2+Im(G_{(j\omega )}{)}^2{)}^{\frac{1}{2}}$$

$$=\sqrt{\frac{(1-{\Omega }^2+4{\zeta }^2{\Omega }^2{)}^2+(2\zeta {\Omega }^3{)}^2}{((1-{\Omega }^2{)}^2+4{\zeta }^2{\Omega }^2{)}^2}}$$

假设 $\Omega =1$ ，即$\omega ={\omega }_n$的情况

$$|G_{(j\omega )}|=\sqrt{\frac{4{\zeta }^2+1}{4{\zeta }^2}}$$

$$\zeta \to \infty ,|G_{(j\omega )}|\to 1$$

可见$\zeta$ 的取值,无法像标准的二阶系统取$\zeta =0.707$能让$|G_{(j\omega )}|=\frac{\sqrt{2}}{2}$,截止频率近似${\omega }_c={\omega }_n$

使用matlab工具，固定${\omega }_n，\zeta$ 取几个不同的值，看伯德图

zeta = [0.1,0.5,0.707,1,5,10];

wn = 300;

figure(1);
for n=1:6
    sys = tf([2*zeta(n)*wn,wn*wn],[1, 2*zeta(n)*wn,wn*wn]);
    bode(sys);
    hold on;
end


legend('ζ=0.1','ζ=0.5','ζ=0.707','ζ=1','ζ=5','ζ=10');1234567891011121314

固定了${\omega }_n$,看不同$\zeta$的取值，频率响应的变化

1. $\zeta$ 取值越大，bode图的表现就更像一阶低通

2. $\zeta$ 取小，则会有更大的振幅响应

matlab工具，固定$\zeta ，{\omega }_n$取几个不同的值，看看伯德图

$\zeta =0.707，{\omega }_n$ 取不同值的情况

$\zeta =1，{\omega }_n$ 取不同值的情况

$\zeta =5，{\omega }_n$ 取不同值的情况

固定了$\zeta$，不同的${\omega }_n$频率响应

1. $\zeta$ 阻尼决定了振幅。
2. ${\omega }_n$ 决定了带宽，响应。

参数设计

对于一般数字滤波器的设计，我们的输入一般就是截止频率，或者比如像带通频率，带阻频率参数等等

标准的二阶系统取$\zeta =0.707$能让$|G_{(j\omega )}|=\frac{\sqrt{2}}{2}$,使得近似截止频率${\omega }_c={\omega }_n$

在这里对于PLL，$\zeta =0.707$也不是一个好的值,振幅峰值差不多有2db。

对于PLL的二阶系统我们如何设计$K_p,K_i$呢,或者说如何选取$\zeta ,{\omega }_n$

因为$K_p=2\zeta {\omega }_n$，$K_i={\omega }_n^2$。选取$\zeta ,{\omega }_n$，即得到了$K_p$和$K_i$

①首先要确定$\zeta$，如果按照最小谐振峰值的要求，那$\zeta$可以选择大一些。

• 这里选取两个值讨论 $\zeta =1,10$

②我们希望设置一个截止频率${\omega }_c$,就需要知道${\omega }_n$和${\omega }_c$的关系

其实在matlab的伯德图中，其实也可以找出关系
$$当\zeta =1,{\omega }_c\approx 2.5{\omega }_n$$

$$当\zeta =10,{\omega }_c\approx 20{\omega }_n$$

理论计算：

$$|G_{(j\omega )}|=\sqrt{\frac{(1-{\Omega }^2+4{\zeta }^2{\Omega }^2{)}^2+(2\zeta {\Omega }^3{)}^2}{((1-{\Omega }^2{)}^2+4{\zeta }^2{\Omega }^2{)}^2}}$$

$$令|G_{(j\omega )}|=\frac{\sqrt{2}}{2},\zeta =1,求\Omega$$

$$\sqrt{\frac{(1-{\Omega }^2+4{\zeta }^2{\Omega }^2{)}^2+(2\zeta {\Omega }^3{)}^2}{((1-{\Omega }^2{)}^2+4{\zeta }^2{\Omega }^2{)}^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

$${\Omega }^8-4{\Omega }^6-12{\Omega }^4-8{\Omega }^2-1=0$$

$$其中一个解\Omega =\sqrt{10+3}\approx 2.482$$

同理当$\zeta =10$, 求$\Omega$

其中一个解

$$\Omega =\sqrt{40402+201}\approx 20.05$$

即：当选取$\zeta =1$, 截止频率选1000时,${\omega }_n=400$

$$K_p=2\zeta {\omega }_n=800$$

$$K_i={\omega }_n^2=160000$$